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Mathematiker analysieren Ornamente der Alhambra in Andalusien

10,7 Millionen Euro für Forschungsprojekt der Unis Paderborn und Bielefeld

Paderborn/Bielefeld

Die Universitäten Paderborn und Bielefeld erhalten 10,7 Millionen an Forschungsgeldern für den gemeinsamen Sonderforschungsbereich „Ganzzahlige Strukturen in Geometrie und Darstellungstheorie“. Das Geld zahlt die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) von 2023 an über einen Zeitraum von  vier Jahren.

Die Universität Paderborn (Foto) erhält für ihre Forschung zu ganzzahligen Strukturen zusammen mit der Universität Bielefeld eine Förderung der DFG. Foto: Hannemann

Beteiligt an dem Sonderforschungsbereich/Transregio ist zudem die Universität Bonn. Sprecher ist Professor Dr. Kai-Uwe Bux von der Universität Bielefeld, stellvertretender Sprecher ist Professor Dr. Igor Burban von der Universität Paderborn. In 20 Teilprojekten untersuchen die Wissenschaftler ganzzahlige Strukturen. In der Geometrie beispielsweise treten solche Strukturen unter anderem als Pflasterungen auf – sich wiederholende Teilflächen, symmetrisch und lückenlos angeordnet, die komplexe mehrdimensionale Muster ergeben können.

„Ich gratuliere den am Antrag beteiligten Mathematiker und Mathematikerinnen unserer Universität und ihren Kollegen und Kolleginnen aus Paderborn herzlich, dass sie diesen neuen Sonderforschungsbereich einwerben konnten“, sagt Professor Dr.-Ing. Gerhard Sagerer, Rektor der Universität Bielefeld. „Die neue Förderung der Forschung zu ganzzahligen Strukturen würdigt die wissenschaftliche Leistung der mitwirkenden Wissenschaftler und Wissenschaftlerinnen. Hinzu kommt: Dass es sich um den zweiten gemeinsamen Transregio der beiden Universitäten handelt, ist eine eindrucksvolle Bestätigung unserer jahrelangen Zusammenarbeit.“ Für die Universität Bielefeld sei es zudem ein großer Erfolg, da es sich aktuell um ihren zweiten Sonderforschungsbereich mit mathematischer Ausrichtung handelt.

Professorin Dr. Birgitt Riegraf, Präsidentin der Universität Paderborn, freut die Entscheidung der DFG, den standortübergreifenden Sonderforschungsbereich einzurichten, außerordentlich. „Sie ist Ausdruck und Anerkennung der mathematischen Spitzenforschung an den Universitäten Paderborn und Bielefeld. Wir alle sind sehr stolz auf die herausragenden Leistungen aller beteiligten Wissenschaftler und Wissenschaftlerinnen und gratulieren ihnen zu diesem Erfolg.“

Ganzzahlige Strukturen bestimmen Ornamente

Ganzzahlige Strukturen begegnen Mathematikern nicht nur in der Geometrie, sondern auch in Algebra, Analysis, Zahlentheorie und weiteren mathematischen Teilgebieten. So ist zum Beispiel ein Schachbrettmuster ganzzahlig aufgebaut. Es handelt sich um eine einfache Pflasterung – ein Gitter aus Vierecken mit gleich langen Kanten.

Täglich bewundert werden Pflasterungen in dem maurischen Alhambra-Palast in Granada, Spanien. Verzierungen aus Rankenornamenten, den Arabesken, schmücken Wände und Säulen des Palastes. Die Muster basieren auf Dreiecken, Rechtecken oder auch Rauten. Durch Drehungen und Spiegelungen dieser Komponenten ergeben sich die Muster. Diesen Pflasterungen lassen sich Ornamentgruppen zuordnen, die die Symmetrien der Pflasterung algebraisch kodieren. Die Alhambra-Verzierungen bilden insgesamt 17 Ornamentgruppen ab – und das erschöpft auch alle Möglichkeiten im zweidimensionalen Raum. Beim Übergang von der zweidimensionalen Fläche in den dreidimensionalen Raum ergeben sich insgesamt 230 Raumgruppen. Mit ihnen lässt sich zum Beispiel der Aufbau von Kristallen beschreiben. Je höher die Dimension, desto mehr unterschiedliche Pflasterungen und Ornamentgruppen treten auf. Die Mathematik kann mit Dimensionen weit jenseits des dreidimensionalen Raums arbeiten.

„Am Beispiel der Ornamentgruppen und ihrer Varianten zeigt sich, wie faszinierend ganzzahlige Strukturen sind“, sagt Professor Dr. Kai-Uwe Bux, Sprecher des neuen Transregio 358 und Mitglied der Arbeitsgruppe „Gruppen und Geometrie“ an der Universität Bielefeld. „Mit Blick auf ganzzahlige Strukturen stellen sich etliche Fragen, die mathematisch bedeutsam sind. Zum Beispiel: Wie viele Arrangements einer bestimmten Form gibt es? Wie variiert die Anzahl der Gitterpunkte in einem Ausschnitt mit dessen Radius? Oder gibt es Muster mit besonders vielen Symmetrien und haben sie auffällige Besonderheiten zum Beispiel in analytischer oder algebraischer Hinsicht? Um diese und verwandte Fragen anzugehen, reicht es nicht, dass wir uns auf ein mathematisches Teilgebiet beschränken. Die Forschung reicht etwa von algebraischer Geometrie über die Analysis auf Mannigfaltigkeiten bis zur Darstellungstheorie assoziativer Algebren.“

Professor Dr. Igor Burban, stellvertretender Sprecher des SFB und Leiter der Arbeitsgruppe „Algebra“ an der Universität Paderborn: „Im Rahmen des SFB-Verbundes werden bereits bestehende Kooperationen zwischen den beiden Standorten in den Bereichen der algebraischen Geometrie und der kategorialen Darstellungstheorie ergänzt und vertieft. Allerdings werden auch neue Brücken geschlagen, zum Beispiel zwischen der Darstellungstheorie endlich dimensionaler Algebren und der geometrischen Gruppentheorie. Harmonische Analysis auf reellen lokal symmetrischen Räumen gehört zu den Schwerpunktthemen der mathematischen Forschung in Paderborn.“

Expertise von 23 Professoren wird vereint

Der Transregio vereint die Expertise von 23 Professoren aus den verschiedenen Teilgebieten der Mathematik. In den 20 Teilprojekten des Forschungsverbundes werden 32 Doktoranden und 28 Postdoktoranden tätig sein. Die große Mehrzahl der Projekte ist standortübergreifend und bezieht mindestens zwei der beteiligten Universitäten ein.

Wie intensiv sie mathematische Teildisziplinen verbinden können, haben Wissenschaftler der Universitäten Bielefeld und Paderborn bereits in früheren Forschungsverbünden gezeigt, auf denen der neue Transregio aufbaut: In den Sonderforschungsbereichen „Diskrete Strukturen in der Mathematik“ und „Spektrale Strukturen und Topologische Methoden in der Mathematik“ der Universität Bielefeld sowie im Graduiertenkolleg „Geometrie und Analyse von Symmetrien“ der Universität Paderborn.

Fachwissen und Forschungspotentiale der Universitäten Bielefeld und Paderborn ergänzen sich nicht nur im Transregio. Die Wissenschaftler blicken nach Angaben der Hochschulen auf eine lange und fruchtbare Kooperation zurück. Dazu zählen gemeinsame Projekte, Forschungskollegs und -programme, zum Beispiel im Forschungsfeld Künstliche Intelligenz und in den Kulturwissenschaften.

Weltweit renommierte Wissenschaftler wirken mit

Als Gastwissenschaftlerin forscht die ukrainische Mathematikerin Professorin Dr. Maryna Viazovska von der Schweizer École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) in dem Transregio. Sie ist bekannt für ihren bahnbrechenden Beitrag zur Theorie dichtester Kugelpackungen. Viazovska ist seit diesem Jahr Trägerin der Fields-Medaille, der höchsten wissenschaftlichen Auszeichnung in der Mathematik. Ebenfalls am Transregio beteiligt sein wird der australische Mathematiker Professor Dr. Amnon Neeman von der Australian National University. Er leistete Pionierarbeit bei der Entwicklung von triangulierten Kategorien. Beide Forschende werden als Mercator-Fellows von der DFG gefördert.

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